对数螺线(对数螺线的参数方程)

雅各布?伯努利是如何研究对数螺线的呢?“对数螺线”的数学表达式看起来晦涩难懂,可以用一道著名的趣味物理题帮助理解:三只小狗分别从一个等边三角形的三个顶点出发,以相同的速度相互追逐,当它们在三角形中心相遇时,所画出的轨迹就是对数螺线。对数螺线最初是在1638年由笛卡尔引进的,而雅各布?伯努利却是对数螺线的狂热粉丝,他发现将对数螺线在

雅各布?伯努利是如何研究对数螺线的呢?

“对数螺线”的数 学表达式看起来晦涩难懂,可以用一道著名的趣味物理题帮助理解:三只 小狗分别从一个等边三角形的三个顶点出发,以相同的速度相互追逐,当 它们在三角形中心相遇时,所画出的轨迹就是对数螺线。对数螺线最初是 在1638年由笛卡尔引进的,而雅各布?伯努利却是对数螺线的狂热粉丝, 他发现将对数螺线在反演、求渐趋线、求垂足曲线、等比例放大等变换后 仍然是原先的对数螺线。这一研究让雅各布?伯努利十分惊叹,于是要求在其墓碑上雕刻对数螺线,并附上为“纵然改变,仍然故我”的字样,一语双关。然而,雕刻的工匠不知出于何种原因,竟然刻的是阿基米德螺线。

对数螺线的弧长公式

对数螺线是自我相似的;这即是说,等角螺线经放大后可与原图完全相同。从原点到等角螺线的任意点上的长度有限,但由该任意点出发沿等角螺线走到原点却需绕原点转无限次。这是由Torricelli发现的。指数函数的取值范围为负无穷到正无穷,x轴是渐近线,因此极径r永远不会等于0,也即无法到达原点o。

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